Как определить возрастает или убывает гипербола. Разбираемся с магией гиперболы

Презентация и урок на тему:
"Гипербола, определение, свойство функции"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Электронные учебные таблицы по геометрии. 7-9 классы
Электронные учебные таблицы по алгебре. 7-9 классы"

Гипербола, определение

Ребята, сегодня мы с вами изучим новую функцию и построим ее график.
Рассмотрим функцию: $y=\frac{k}{x}$, $k≠0$.
Коэффициент $k$ – может принимать любые действительные значения, кроме нуля. Для простоты начнем разбор функции со случая, когда $k=1$.
Построим график функции: $y=\frac{1}{x}$.
Как всегда начнем с построения таблицы. Правда в этот раз придется разделить нашу таблицу на две части. Рассмотрим случай, когда $x>0$.
Нам нужно отметить шесть точек с координатами $(x;y)$, которые приведены в таблице и соединить их линией.

Теперь посмотрим, что у нас получается при отрицательных х.

Поступим тем же образом, отметим точки и соединим их линией.

Два кусочка графика мы построили, давайте объединим их.

График функции $y=\frac{1}{x}$.
График такой функции называется "Гиперболой".

Свойства гиперболы

Согласитесь, график выглядит довольно-таки красиво, и он симметричен относительно начала координат. Если провести любую прямую, проходящую через начало координат, из первой в третью четверть, то она пересечет наш график в двух точках, которые будут одинаково отдалены от начала координат.
Гипербола состоит из двух, симметричных относительно начала координат, частей. Эти части называются, ветвями гиперболы.
Ветви гиперболы в одном направлении (влево и вправо) все больше и больше стремятся к оси абсцисс, но никогда не пересекут ее. В другом направлении (вверх и вниз) стремятся к оси ординат, но также никогда не пересекут ее (так как на ноль делить нельзя). В таких случаях, соответствующие линии называются асимптотами. График гиперболы имеет две асимптоты: ось х и ось у.

У гиперболы есть не только центр симметрии, но и ось симметрии. Ребята, проведите прямую $y=x$ и посмотрите, как разделился наш график. Можно заметить, что если часть, которая расположена выше прямой $y=x$, наложить на часть, которая располагается ниже, то они совпадут, это и означает симметричность относительно прямой.

Мы построили график функции $y=\frac{1}{x}$, но что будет в общем случае $y=\frac{k}{x}$, $k>0$.
Графики практически не будут отличаться. Будет получаться гипербола с теми же ветвями, только чем больше $k$, тем дальше будут удалены ветви от начала координат, а чем меньше $k$, тем ближе подходить к началу координат.

Например, график функции $y=\frac{10}{x}$ выглядит следующим образом. График стал "шире", отдалился от начала координат.
А как быть в случае отрицательных $k$? График функции $y=-f(x)$ симметричен графику $y=f(x)$ относительно оси абсцисс, нужно перевернуть его "вверх ногами".
Давайте воспользуемся этим свойством и построим график функции $y=-\frac{1}{x}$.

Обобщим полученные знания.
Графиком функции $y=\frac{k}{x}$, $k≠0$ является гипербола, расположенная в первой и третье (второй и четвертой) координатных четвертях, при $k>0$ ($k

Свойства функции $y=\frac{k}{x}$, $k>0$

1. Область определения: все числа, кроме $х=0$.
2. $y>0$ при $x>0$, и $y 3. Функция убывает на промежутках $(-∞;0)$ и $(0;+∞)$.

7. Область значений: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

Свойства функции $y=\frac{k}{x}$, $k
1. Область определения: все числа кроме $х=0$.
2. $y>0$ при $x 0$.
3. Функция возрастает на промежутках $(-∞;0)$ и $(0;+∞)$.
4. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
5. Наибольшего и наименьшего значений нет.
6. Функция непрерывна на промежутках $(-∞;0)U(0;+∞)$ и имеет разрыв в точке $х=0$.
7. Область значений: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

Данный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос – как правильно и БЫСТРО построить график . В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т.д., запомнить некоторые значения функций. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций .

Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики . Графики для чайников? Можно сказать и так.

По многочисленным просьбам читателей кликабельное оглавление :

Кроме того, есть сверхкраткий конспект по теме
– освойте 16 видов графиков, изучив ШЕСТЬ страниц!

Серьёзно, шесть, удивился даже я сам. Данный конспект содержит улучшенную графику и доступен за символическую плaту , демо-версию можно посмотреть . Файл удобно распечатать, чтобы графики всегда были под рукой. Спасибо за поддержку проекта!

И сразу начинаем:

Как правильно построить координатные оси?

На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.

Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей .

Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.

Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат :

1) Чертим координатные оси. Ось называется осью абсцисс , а ось – осью ординат . Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво . Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло.

2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси .

3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички . При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева) – по возможности придерживайтесь именно его. Однако время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда масштаб уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа). Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше

НЕ НУЖНО «строчить из пулемёта» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Декарту, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям . Иногда вместо единиц удобно «засечь» другие значения, например, «двойку» на оси абсцисс и «тройку» на оси ординат – и эта система (0, 2 и 3) тоже однозначно задаст координатную сетку.

Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа . Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами , , , то совершенно понятно, что популярный масштаб 1 единица = 2 клеточки не подойдет. Почему? Посмотрим на точку – здесь придется отмерять пятнадцать сантиметров вниз, и, очевидно, что чертеж не вместится (или вместится еле-еле) на тетрадный лист. Поэтому сразу выбираем более мелкий масштаб 1 единица = 1 клеточка.

Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях.

К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! На бумаге экономят. Для оформления контрольных работ рекомендую использовать тетради Архангельского ЦБК (18 листов, клетка) или «Пятёрочку», правда, она дороже. Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Единственной «конкурентоспособной» шариковой ручкой на моей памяти является «Эрих Краузе». Она пишет чётко, красиво и стабильно – что с полным стержнем, что с практически пустым.

Дополнительно : вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов , подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урока Линейные неравенства .

Трехмерный случай

Здесь почти всё так же.

1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось аппликат – направлена вверх, ось – направлена вправо, ось – влево вниз строго под углом 45 градусов.

2) Подписываем оси.

3) Задаем масштаб по осям. Масштаб по оси – в два раза меньше, чем масштаб по другим осям . Также обратите внимание, что на правом чертеже я использовал нестандартную «засечку» по оси (о такой возможности уже упомянуто выше) . С моей точки зрения, так точнее, быстрее и эстетичнее – не нужно под микроскопом выискивать середину клетки и «лепить» единицу впритык к началу координат.

При выполнении трехмерного чертежа опять же – отдавайте приоритет масштабу
1 единица = 2 клетки (чертеж слева).

Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но чертить их на самом деле жуть как неохота Эксель их начертит гораздо точнее.

Графики и основные свойства элементарных функций

Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую . Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.

Пример 1

Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если , то

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если , то

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:

При оформлении чертежа всегда подписываем графики .

Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:

Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа . В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых , или справа внизу между графиками.

1) Линейная функция вида () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или .

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости .

График квадратичной, кубической функции, график многочлена

Парабола. График квадратичной функции () представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай:

Вспоминаем некоторые свойства функции .

Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы. Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока об экстремумах функции . А пока рассчитываем соответствующее значение «игрек»:

Таким образом, вершина находится в точке

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция – не является чётной , но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком» или принципом «туда-сюда» с Анфисой Чеховой.

Выполним чертеж:

Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции () справедливо следующее:

Если , то ветви параболы направлены вверх .

Если , то ветви параболы направлены вниз .

Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола .

Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж:

Перечислим основные свойства функции

График функции

Он представляет собой одну из ветвей параболы . Выполним чертеж:

Основные свойства функции :

В данном случае ось является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при .

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой .

Также односторонние пределы , говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу .

Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить по оси влево (или вправо) на бесконечность, то «игреки» стройным шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близко приближаться к оси .

Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции, если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.

Функция является нечётной , а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: .

График функции вида () представляет собой две ветви гиперболы .

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше).

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях .

Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков .

Пример 3

Построить правую ветвь гиперболы

Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Выполним чертеж:

Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.

Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола .

График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

График функции пока оставим в покое, о нём позже.

Основные свойства функции :

Принципиально так же выглядят графики функций , и т. д.

Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.

График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом .
Выполним поточечный чертеж:

Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам.

Основные свойства функции :

Область определения :

Область значений: .

Функция не ограничена сверху: , пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность.
Исследуем поведение функции вблизи нуля справа: . Таким образом, ось является вертикальной асимптотой для графика функции при «икс» стремящемся к нулю справа.

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма : .

Принципиально так же выглядит график логарифма при основании : , , (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.

Случай рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде в задачах высшей математики ооочень редкий гость.

В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция и логарифмическая функция – это две взаимно обратные функции . Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.

Графики тригонометрических функций

С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса

Построим график функции

Данная линия называется синусоидой .

Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: , и в тригонометрии от него в глазах рябит.

Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.

Область определения : , то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.

Область значений: . Функция является ограниченной : , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке .
Такого не бывает: или , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.

Сейчас мы будем говорить об обратной зависимости, или другими словами - обратной пропорциональности, как о функции. Ты помнишь, что функция - это определенного рода зависимость? Если ты еще не читал тему , настоятельно рекомендую бросить все и прочитать, ведь нельзя изучать какую-либо конкретную функцию, не понимая, что это такое - функция.

Также очень полезно перед началом этой темы освоить две более простые функции: и . Там ты закрепишь понятие функции и научишься работать с коэффициентами и графиками.

Итак, ты вспомнил, что такое функция?
Повторим: функция - это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный! ) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция, это значит что каждому допустимому значению переменной (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной (называемой «функцией»). Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме « »! Все дело в понятии «область определения» : для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции отрицательные значения аргумента - недопустимы.

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида, где.

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.
Давай определим область определения. Чему может быть равен? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить - это, поэтому:

или, что то же самое,

(такая запись означает, что может быть любым числом, кроме: знак « » обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел; знаком « » обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»), и число в фигурных скобках означает просто число; получается, что из всех возможных чисел мы исключаем).

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если, то на что бы мы его не делили, не получится:

Также возможны некоторые вариации формулы. Например, - это тоже функция, описывающая обратную зависимость.
Определи самостоятельно область определения и область значений этой функции. Должно получиться:

Давай посмотрим на такую функцию: . Является ли она обратной зависимостью?

На первый взгляд сложно сказать: ведь при увеличении увеличивается и знаменатель дроби, и числитель, так что непонятно, будет ли функция уменьшаться, и если да, то будет ли она уменьшаться пропорционально? Чтобы понять это, нам необходимо преобразовать выражение таким образом, чтобы в числителе не было переменной:

Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой: .

Вот еще пример: .

Тут сложнее: ведь числитель и знаменатель теперь уж точно не сокращаются. Но все-же мы можем попробовать:

Ты понял, что я сделал? В числителе я добавил и вычел одно и то же число (), таким образом я вроде бы ничего не изменил, но теперь в числителе есть часть, равная знаменателю. Теперь я почленно поделю, то есть разобью эту дробь на сумму двух дробей:

(и правда, если привести то что у меня получилось к общему знаменателю, получится как-раз наша начальная дробь):

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления:

1. На рисунке изображен график функции. Определите.

2. На рисунке изображен график функции. Определите

3. На рисунке изображен график функции. Определите.

4. На рисунке изображен график функции. Определите.

5. На рисунке приведены графики функций и.

Выбери верное соотношение:

Ответы:

в жизни

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный - это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние. И правда, вспомним формулу скорости: , где - скорость, - время в пути, - расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время:

Пример:

Человек едет на работу со средней скоростью км/ч, и доезжает за час. Сколько минут он потратит на эту же дорогу, если будет ехать со скоростью км/ч?

Решение:

Вообще, такие задачи ты уже решал в 5 и 6 классе. Ты составлял пропорцию:

То есть понятие обратной пропорциональности тебе уже точно знакомо. Вот и вспомнили. А теперь то же самое, только по-взрослому: через функцию.

Функция (то есть зависимость) времени в минутах от скорости:

Известно, что, тогда:

Нужно найти:

Теперь придумай сам несколько примеров из жизни, в которых присутствует обратная пропорциональность.
Придумал? Молодец, если да. Удачи!

ОБРАТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Определение

Функция, описывающая - это функция вида, где.

По-другому эту функцию называют обратной пропорциональностью, так как увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.

или, что то же самое,

График обратной зависимости - гипербола.

2. Коэффициенты, и.

Отвечает за «пологость» и направление графика : чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента влияет на то, в каких четвертях расположен график:

если, то ветви гиперболы расположены в и четвертях;
если, то во и.

x=a - это вертикальная асимптота , то есть вертикаль, к которой стремится график.

Число отвечает за смещение графика функции вверх на величину, если , и смещение вниз, если .

Следовательно, - это горизонтальная асимптота .

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Рассмотрим функцию y=k/y. Графиком этой функции является линия, называемая в математике гиперболой. Общий вид гиперболы, представлен на рисунке ниже. (На графике представлена функция y равно k разделить на x, у которой k равно единице.)

Видно, что график состоит из двух частей. Эти части называют ветвями гиперболы. Стоит отметить также, что каждая ветвь гиперболы подходит в одном из направлений все ближе и ближе к осям координат. Оси координат в таком случае называют асимптотами.

Вообще любые прямые линии, к которым бесконечно приближается график функции, но не достигает их, называются асимптотами. У гиперболы, как и у параболы, есть оси симметрии. Для гиперболы, представленной на рисунке выше, это прямая y=x.

Теперь разберемся с двумя общими случаями гипербол. Графиком функции y = k/x, при k ≠0, будет являться гипербола, ветви которой расположены либо в первом и третьем координатных углах, при k>0, либо во втором и четвертом координатных углах, при k<0.

Основные свойства функции y = k/x, при k>0

График функции y = k/x, при k>0

5. y>0 при x>0; y6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Основные свойства функции y = k/x, при k<0

График функции y = k/x, при k<0

1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.

2. Оси координат - асимптоты гиперболы.

4. Область определения функции все х, кроме х=0.

5. y>0 при x0.

6. Функция возрастает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

Функция записывается в общем виде, как y = или f(x) =

y и x - это обратно пропорциональные величины , т.е. когда одна растет, другая уменьшается (проверьте, подставив числа в функцию)

В отличие от предыдущей функции, в которой x 2 всегда создает положительные значения, здесь мы не можем сказать, что - = , поскольку это будут совершенно противоположные числа. Такие функции называют нечетными .

Построим для примера график y =

Естественно, x не может быть равен нулю (x ≠ 0)

Ветви гиперболы лежат в 1-й и 3-й части координат.

Они бесконечно могут приближаться к осям абсцисс и ординат и так никогда их не достигнуть, даже если «x» станет равен миллиарду. Гипербола будет бесконечно близко, но все же так и не пересечется с осями (такая вот математическая печалька).

Построим график для y = -